- 一山教研|《勾股定理》磨课报告
- 发布人： 发布日期：2019-10-31
一、课前思考
1.课标的要求是什么？
本节课是八年级上学期第三单元《勾股定理》，课标中提出的要求是：
（1）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
（2）经历借助图形思考问题的过程，逐步建立几何直观。
（3）体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。
教参中也强调要让学生体会数与形的完美结合，经历探索勾股定理及其逆定理的过程。
我想：能根据勾股定理求直角三角形的边长又如何？能根据勾股定理逆定理判断三角形的形状又如何？我们到底想让孩子学会什么？
我认为，通过这一课，我们应该让孩子们有以下收获：
（1）感受勾股定理的文化价值。
（2）深刻体验探索勾股定理及其逆定理的过程：加深对等面积法的认识，体会勾股定理及其逆定理之间的区别与联系。
（3）体会数学“来源于生活，高于生活”的道理，能够用勾股定理及其逆定理来解决实际问题。
2.大单元整体学习该如何体现整体设计？
大单元整体学习设计需要结构化思维，要充分体现学生学习过程的连续性、系统性和有效性，杜绝知识、学习时间、探究过程的碎片化。
因此，我在构思这节课时，首先是去确定这节课的学习目标，既包含要达成的目的，更要包含学习的过程。有了学习目标，这节课的思路就会非常清晰。
3. 如何制定指向学生高阶思维的学习目标？
整体学习指向真实学习，真实学习锻炼高阶思维。
以前，我们数学学科的学习目标往往要求“用自己的话说出某某概念、举出几个某某例子、说出某某的特点”等，其实这只还是停留在信息提取的范畴内，还没有完全指向孩子们的高阶思维，要从信息提取的范畴提升到领会、分析、应用的范畴。
二、课堂过程设计
1.史话导入，激发兴趣
两千多年前，古希腊著名的毕达哥拉斯学派首先发现了勾股定理，因此，人们通常称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”，希腊还曾经在1955年为该学派发行了一枚纪念邮票。
我国也是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，则弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于《周髀算经》当中。
设计意图：激发学生探索勾股定理的兴趣，从而引导学生主动探索勾股定理、验证勾股定理、探索勾股定理的逆问题以及勾股定理的简单应用，让学生真切感受到勾股定理的学科价值、文化价值和思想价值。
2.提出猜想 任务驱动
以1955年希腊为纪念毕达哥拉斯学派而发行的邮票作为切入点，让孩子们观察邮票图案中三个小正方形的个数，从而得出SA+SB=SC的结论，再根据正方形面积计算办法，进一步得出“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的猜想，激励学生去证明这个猜想，也就是验证勾股定理。
设计意图：这是承上启下的一个环节，让学生进一步感受勾股定理的文化价值，并带领孩子们一起提出“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的猜想，真切经历猜想——验证的过程。此外，这个环节能够激发学生主动进行数到形、形到数的联想，感悟数与形的联系。
3.解读学习目标 明确学习任务
（1）认知内化：自主研读教材,经历探索勾股定理及其逆定理的过程，并说出它们之间的区别与联系。
以勾股定理的猜想过渡到学习目标，顺理成章地引导学生参照数学实验手册和课本第80页的实验，亲手验证勾股定理及其逆定理，并体会勾股定理及其逆定理的区别与联系。
（2）实践生成：尝试求出不规则四边形地的面积，并准确写出计算方法。
引导同学们利用所证明的勾股定理及其逆定理，帮助门卫叔叔求出不规则四边形地的面积，这一学习目标体现了实践生成的过程。已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，你能帮助门卫叔叔解决问题吗?
（3）迁移提升：小组分享交流2个利用勾股定理及其逆定理解决实际问题的例子。
数学来源于生活而高于生活，我们要帮助学生体会数学应用的魅力，感悟数学的“转化”思想（把解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题），体会勾股定理的文化价值，增强应用意识。
设计意图：以任务驱动孩子们探索勾股定理及其逆定理，让孩子在真实的情境中真实学习，解读学习目标的目的在于让孩子们清楚自己本节课探究的任务，引导孩子们开始更好地自主探究学习。
4. 自主合作 探究学习
设计意图：通过设计“求不规则四边形地”的学习任务，让学生主动去探求知识，掌握方法，经历探索勾股定理及其逆定理的过程，并利用勾股定理及其逆定理来完成本节课的学习任务，得到知识上的成就感，从而喜欢、享受学习的过程，在学习中有所收获。
5.分享交流 智慧碰撞
（1）学习活动一：探索勾股定理
设计意图：让学生用不同的方法验证勾股定理，不仅突出了勾股定理的重要地位，而且让学生们感悟验证定力过程中所蕴含的数学文化和数学思想。
（2）学习活动二：探索勾股定理逆定理
我们知道直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，反过来，如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？即在△ABC中（如图）a2+b2=c2,
△ABC是否为直角三角形？请给出证明过程。
设计意图：让学生体会“同一法”的价值，让学生明白：要证明一个图形的某种性质，可以先构造一个具有这种性质的图形，再证明它与一直图形是“同样的”，这是学生与“同一法”的“初次相遇”，务必要让他们体会到其魅力。
（3）学习活动三：勾股定理及其逆定理的综合应用
设计意图：知识的学习不能浮于表面，融会贯通尤其重要。这个学习任务虽然不难，但是学生需要自己通过分析已知的添加辅助线，构造直角三角形，再利用勾股定理求出直角三角形的边长，进而发现边长为5，12，13 的三角形满足勾股定理逆定理。利用割补法求出这个不规则四边形地的面积，能够培养学生建模、直观想象的数学核心素养。
6.迁移提升 巩固新知
（1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， BC=6，AC=8， 求AB、CD的长。
这个问题考察的是勾股定理和等面积法的运用。
设计意图：巩固勾股定理这一新知，明白勾股定理的作用包括求直角三角形的边长，同时加深孩子们对于等面积法的认识，体会等面积法的无穷魅力。
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c且满足
,请判断△ABC的形状，并给出证明过程。
这个问题考察的是平方绝对值的非负性以及勾股定理的逆定理。
设计意图：让学生体会勾股定理逆定理能够判定三角形是否为直角三角形，同时涉及初一上学期的知识，让学生明白温故知新、举一反三的重要性和数学知识的连贯性。
（3）如图，正方形ABCD中，E是BC边的中点，F是AB上一点，且FB=
AB，那么△DEF是直角三角形吗？如果是，请说明理由。
这个问题是勾股定理及其逆定理的综合应用，主要检测孩子们对于正方形的认识，对于数形结合这一思想的把握。
设计意图：让学生学会用“逆向”的思维思考问题，既有利于学生进一步体会勾股定理及其逆定理之间的联系与区别，也有利于学生不断强化“逆向思考”的习惯。
（4）高速公路的同一侧有A、B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km。要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小，求这个最短距离。
这是一道勾股定理及其逆定理的实际应用题，主要考查的是利用轴对称将同侧转化为异侧，再利用“两点之间线段最短”的原理找出点P，并自己构造直角三角形，利用勾股定理求出边长。
设计意图：设置这道题目有两个目的：一是让学生体会勾股定理及其逆定理在生活中的实际应用，二是让学生强化章节之间连贯性的认识。
作者心语：
我是一个不喜欢循规蹈矩的人，我想要创新，我喜欢创新，因为我始终明白：不创新就难有进步，没有进步就代表退步，所以，年轻的我不可以松懈。
加入271教育大家庭工作已经一年多了，这一年里的我，努力通过每一次创新展示课的机会成长自己，也深知自己才疏学浅，最终呈现出来的课堂还不完美，我只希望明天的自己可以喜欢今天努力的自己。
为了孩子们的快乐成长，我一定会加快自己前进的脚步！
数学学科组 张雯文